La nozione di radice quadrata è importante non solo per i problemi di largo interesse (in particolare geometrici) che consente di risolvere direttamente, ma anche perché, nella sua evoluzione storica, ha contribuito ad ampliare la nozione di numero, ovvero ad estendere strumenti computazionali fondamentali (introduzione dei numeri irrazionali, distinzione dei numeri algebrici, introduzione dei numeri complessi).

Nella matematica di base si definisce radice quadrata di un numero razionale positivo un numero , anch'esso positivo, che soddisfa l'equazione . La determinazione della radice quadrata, o come spesso si dice, la estrazione della radice quadrata, consente di risolvere il problema di geometria piana della determinazione della lunghezza del lato (x) di un quadrato di data area (z). Da questo problema trae origine l'aggettivo quadrata

Sviluppo della nozione

Quando si sono definiti i numeri reali si può definire radice quadrata principale di un numero reale positivo z ogni il numero reale positivo x tale che

.

Questo numero, del quale si dimostrano l'esistenza e l'unicità, si indica con la scrittura . Si osserva poi che anche l'opposto − x soddisfa la precedente equazione quadratica [*]; inoltre entrambe le soluzioni di tale equazione sono interessanti, in quanto danno i due zeri della parabola di equazione y = x² − z. È dunque opportuno definire radice quadrata di un numero reale positivo ogni numero reale che soddisfi la [*]. Tutti i numeri reali positivi posseggono due radici quadrate, una positiva e una negativa. Lo zero reale possiede come radice quadrata solo se stesso. Emerge però una certa opportunità di affermare che lo zero reale possiede due radici quadrate coincidenti, sia per mettere lo zero sullo stesso piano dei numeri reali positivi, sia per una ragione di continuità: lo zero si può considerare l'unico limite delle due radici quadrate x e -x del numero z al tendere a 0 di questo reale.

Restringendo la ricerca della radice quadrata al dominio dei numeri interi positivi, si trova che solo i numeri che sono quadrati perfetti ammettono per radice quadrata principale un numero dello stesso tipo: ad esempio, 4 ha per radice il numero 2, e 25 ha per radice 5; viceversa tutti gli altri interi positivi, a cominciare da 2 e 3, non ammettono una radice intera.

Se ampliamo il dominio di ricerca ad includere i numeri razionali positivi, si trova che solo i numeri razionali che sono quadrati perfetti, ovvero che sono dati da frazioni con numeratore e denominatore entrambi quadrati perfetti, ammettono per radice principale un numero razionale positivo: 4/9 ammette per radice 2/3, ma 1/2 o 25/39 non ammettono radici razionali.

Si è quindi trovato che l'insieme dei numeri razionali presenta una limitazione operativa e si è sentita la necessità di ampliare il campo dei razionali ad un campo numerico nel quale si possa trovare una radice quadrata per ogni numero positivo.

Questo ha condotto alla introduzione dei numeri reali: se allarghiamo il dominio della ricerca a questi numeri, ogni numero reale positivo (che in questo contesto viene chiamato radicando) possiede una radice quadrata dello stesso genere. È possibile dimostrare che un numero che sia la radice quadrata di un numero che non è un quadrato perfetto o una frazione il cui numeratore e denominatore sono ambedue quadrati perfetti è un numero irrazionale, cioè un numero non esprimibile come frazione ma rappresentabile con una scrittura decimale infinita non periodica. Ad esempio è irrazionale la radice quadrata di 2; di più, l'insieme di tutti gli interi positivi non quadrati perfetti è un sottoinsieme numerabile dei numeri irrazionali.

Si osserva poi che nessun numero reale negativo possiede una radice quadrata reale e questo ha contribuito (v. anche Rafael Bombelli) all'introduzione dei numeri complessi. Quando si estende a queste entità la ricerca di radici quadrate, si trova che ogni numero complesso ammette due radici quadrate complesse, l'una essendo il numero opposto dell'altra. Particolarmente importanti sono le radici quadrate di -1, i detta unità immaginaria e -i. In generale il numero espresso in forma polare come

si trova che possiede due radici complesse date da

.

Per esprimere questi numeri complessi può essere conveniente estendere agli argomenti complessi la nozione di radice quadrata principale e la relativa notazione

,

in modo da poter dire ancora che le radici del numero complesso z sono .

Le radici del numero complesso 0 coincidono con lo stesso 0 e a tale radice si attribuisce molteplicità 2.

Proprietà

Riveste grande utilità la funzione radice quadrata principale funzione che pone in corrispondenza l'insieme dei numeri reali non negativi con se stesso e che si individua scrivendo o anche x^{1 / 2}. Più precisamente questa endofunzione entro è una biiezione crescente e continua.

L'equazione ha solo due soluzioni, 0 e 1. In altre parole la funzione radice quadrata principale è una permutazione (= endofunzione biiettiva) di avente { 0,1 } come insieme dei punti fissi.

Per ogni due numeri reali positivi e si trovano subito le identità

Queste uguaglianze sono in sintonia con il fatto che la funzione radice quadrata fa corrispondere all'area di un quadrato la lunghezza del suo lato. Esse inoltre per y=100 diventano

.

Queste uguaglianze implicano che per tabulare nella notazione decimale i valori assunti dalla funzione radice quadrata principale è sufficiente conoscere i suoi valori nell'intervallo [0,100).

Per ogni numero reale x si trova che

Supponiamo che x e a siano reali e che , e che si voglia ottenere la . Un errore comune consiste nell'estrarre la radice quadrata e dedurre che . Questo non è lecito, in quanto la radice quadrata principale di non è , ma il valore assoluto , come dice l'uguaglianza precedente. Commettendo questo errore si potrebbe concludere che , o equivalentemente .

L'uguaglianza che segue è utile in molti passi del calcolo infinitesimale, ad esempio per dimostrare che la funzione radice quadrata è continua e differenziabile, o per calcolare certi limiti.

valida per tutte le coppie di interi non negativi x e y che non sono entrambi zero.

La funzione ha il seguente grafico (ottenibile da una metà di parabola avente come asse l'asse delle y.

Questa funzione, continua per tutti gli x non negativi, è differenziabile per tutti gli x positivi, ma non è differenziabile per x = 0, poiché la pendenza della tangente nel corrispondente punto è ∞).

La derivata della funzione è data da

.

La serie di Taylor di in un intorno di x = 0 si puo` ottenere servendosi del teorema binomiale:

per .

Generalizzazioni

Il problema dell'estrazione della radice quadrata può porsi anche in un generico anello e in altre strutture di genere algebrico nelle quali si definisce un prodotto.

In particolare si definisce radice quadrata di una matrice quadrata Z su un campo ogni matrice X con lo stesso dominio tale che sia . Nel caso delle matrici 2 × 2 la ricerca della matrice radice quadrata si riconduce alla soluzione di un sistema di 4 equazioni di secondo grado in 4 incognite. Infatti l'equazione nelle incognite v, w, x e y

equivale al sistema

In particolare una matrice diagonale 2 × 2 a valori reali

con a e d positivi possiede le 4 le radici quadrate date dall'espressione

Si può definire anche la radice quadrata di un linguaggio formale, in relazione al prodotto di giustapposizione, prodotto non commutativo e associativo. Ad esempio, se a è un carattere, il linguaggio {a²ⁿ} possiede come unica radice quadrata il linguaggio {aⁿ} e il linguaggio {a²,a⁴,...,a²ⁿ,...} possiede come unica radice quadrata il linguaggio {a,a³,...,a^{2n − 1},...}; ogni linguaggio finito con più di una stringa non possiede invece alcuna radice quadrata.